Завод произвел за год 40000 автомобилей а в следующем году 36000
1.История возникновения процентов.
2. Правило, объяснение решения задач с процентами.
3. Закрепление материала, решение задач с процентами.
4.Практические советы, вывод.
Цель:Узнать новое о процентах, научиться решать задачи с процентами
Задачи: изучить информацию по данной теме, сделать практические выводы.
История возникновения процентов.
До средних веков человечество прекрасно обходилось без процентов, но с развитием математики, торговля в Европе обрела десятичные дроби, а с ними и проценты. Произошло это лишь в 15 веке, после публикации голландского математика С.С.Тевином работы под названием:”Таблица процентов”.
Определение: Процентом называется одна сотая часть числа.
Обозначается процент знаком %. Появление знака процента довольно удивительно.В 17 веке во Франции была издана книга Матье де ла Порте “Руководство по коммерческой арифметике”, в которой речь шла о процентах. В ту пору их обозначали “cto” (сокращено от “centro”). Но при наборе книги на печатной машинке эти три буквы приняли за дробь и напечатали знак “%”.Так, опечатка дала жизньновому математическому знаку.
Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.
Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь. Как вы поняли, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, а три пятых — 60%. Сравнение величин в процентах.
Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах. Если сравнение по разности вполне однозначно, то есть всегда можно найти, насколько одна величина больше или меньше другой, то для сравнения в процентах нужно указывать, относительно какой величины вычисляется процент. Такое указание, впрочем, необязательно в том случае, когда говорят, что одна величина больше другой на число процентов, превышающее 100. В этом случае остается только одна возможность вычисления процента, а именно деление разности на меньшее из двух чисел с последующим умножением результата на 100.
Существует три основных типа задач на проценты:
Задача 1. Найти указанный процент от заданного числа. Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.
Пример. Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года? Решение:10000·6:100=600руб.
Задача 2. Найти процентное выражение одного числа от другого. Первое число делится на второе и результат умножается на 100.
Пример. Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году – только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?
«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»
Решение: Надо узнать, сколько 25% в рублях. Сколько будет один процент от 14 рублей? Одна сотая часть. То есть 14/100 = 0,14 рубля. А таких процентов у нас 25. Умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:
Десять с половиной рублей. Это ответ.
Как видите, в простых задачках достаточно перевести заданные величины в проценты, или заданные проценты – в величины.
Рассмотрим задачу, при решении которой очень часто допускают ошибки.
«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равесть но не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»
Очень хочется ответить, что 40 рублей. Но это не так. Дело в том, что проценты всегда считаются от чего-то.
А теперь нам надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.
Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50!) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:
45 – 6,75 = 38,25 рубля.
Дело в том, что проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. Практические советы:
1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!
2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!
3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!
Вывод:
Мы рассмотрели различные задачи, узнали интересные факты о процентах. Проценты – это важное понятие, которое надо хорошо изучить.
Реферат: Лекции по Математике 2
Найти процентное выражение одного числа от другого.
Первое число делится на второе и результат умножается на 100.
Отношение и пропорция. Пропорциональность
Отношение. Пропорция. Основное свойство пропорции.
Пропорциональные величины. Коэффициент пропорциональности.
Отношение – это частное от деления одного числа на другое.
Пропорция – это равенство двух отношений. Например,
Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции; a и d – во второй.
Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции; b и с – во второй.
Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным.
Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.
Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму ( коэффициент пропорциональности ) будет равно:
Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.
Действия с отрицательными и положительными числами
Абсолютная величина (модуль). Сложение.
Вычитание. Умножение. Деление.
Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.
П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются
их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные
величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак
Научно-исследовательская работа «Его величество ПРОЦЕНТ»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Чекмаревская основная общеобразовательная школа»
г. Обоянь Курской области
Районная научно-практическая конференция по математике
«Его величество ПРОЦЕНТ»
Тутова Анастасия Николаевна,
Набасов Владислав Павлович
обучающиеся 9 класса
МБОУ «Чекмаревская ООШ»
Руководитель: Пестрецова Татьяна Георгиевна, учитель математики
МБОУ «Чекмаревская ООШ»
Тема: «Его величество ПРОЦЕНТ».
Актуальность: Процент – одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни.
Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитывать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбирать наиболее выгодные.
Цель проекта : показать широту применения в жизни процентных вычислений.
Задачи: изучить научную литературу по теме исследования;
рассмотреть основные классы задач на проценты;
показать применение понятия процента при решении реальных задач из разных сфер жизнедеятельности человека;
познакомится с формулой сложных процентов;
обобщить результаты работы
Объект исследования: Проценты в школе и современной жизни человека
Предмет исследования: проценты
Гипотеза: Проценты необходимы в современной жизни человека, и в то же время это одна из сложных тем школьного курса математики
Методы исследования: изучение и анализ литературы по вопросу исследования, систематизация и обобщение полученных результатов.
Появление и обозначение процента
В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.
После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.
Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.
Для чего и когда появился процент?
Слово «процент» произошло от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или
«со ста». Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощая расчёты.
Пример: Что больше ½ или ¾?
И первыми идею выражать таким образом части целого в одних и тех же долях, придумали древние вавилоняне. Дело в том, что этот строй пользовался шестидесятеричными дробями, поэтому им просто необходимо было такое нововведение. До наших дней дошли клинописные таблицы вавилонян, при помощи которых можно легко и быстро определить, какова сумма процентных денег. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы».
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, в экономических расчетах, в страховании, статистике, науке и технике.
В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.
Область применения процентов 
Знакомство с процентом
Процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу) или сотая часть единицы. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.
Запись 1% означает 0,01 или 1/100.
Так как 1 % равен сотой части величины, то вся величина равна 100%
Если часть величины, заданную десятичной дробью, надо выразить в процентах, то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо и к полученному числу приписать знак %. Справедливо и обратное правило.
0,07 % = 0,0007; 0,451 = 45,1 %;
Чтобы выразить в процентах часть величины, заданную обыкновенной дробью, нужно сначала эту дробь обратить в десятичную.
3/8 = 0,375, т. е. 3/8 – это 37,5 %
Например, 17 % от 500 кг означает 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. Справедливо также утверждение, что 200 % от 500 кг является 1000 кг. Поскольку по отношению к половине тонны, тонна соответствует 2×100 %.
Виды задач на проценты
Поскольку проценты выражаются дробями, то задачи на проценты, по существу, являются теми же задачами на дроби.
1. Нахождение процента от числа
Чтобы найти указанное число процентов от данного числа, нужно проценты записать дробью, а затем данное число умножить на эту дробь.
1200 ∙30/100 = 1200 ∙0,3 = 360 костюмов нового фасона выпустила фабрика.
2. Нахождение числа по его проценту
Чтобы найти все число по его проценту, нужно проценты записать дробью, а затем данное число соответствующее проценту разделить на эту дробь.
Пример. За тест по математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников выполняло тест?
12 : 0,3 = 40 учеников выполняло тест
3. Сколько процентов составляет одно число от другого
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.
Пример. Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году – только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?
4. Увеличение (уменьшение) числа на заданный процент.
Пример. Рабочий изготовил 720 деталей за смену, перевыполнив план на 20 %. Сколько деталей составляет плановое задание рабочего?
720/(1+20/100) = 720/(1+1/5) = 720/1,2 = 600
Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:
5. На сколько одно число больше (меньше), чем другое?
Пример. Число учащихся, записавшихся в данную школу, выросло с 351 до 396 человек. На сколько процентов возросло это число?
Прирост составил 396 – 351 = 45 человек. Записывая дробь 45/351 в процентах, получаем:
Немного житейских задач.
Cначала узнаём, на сколько рублей подорожал билет в феврале, т.е. найдём 15% от 200 р. 15% от стоимости билета – это 0,15 рублей: 200 0,15=30 (р.). Теперь можно определить стоимость билета в феврале:
Чтобы узнать мартовскую стоимость билета, нужно найти 20% от февральской стоимость билета и прибавить полученное число к 230:
20% от стоимости билета – это 0,2 рублей: 230 0,2=46 (р.).
20 0005/100 = 1000 руб. – составляют 5 %;
20 000 – 1000 = 19 000 руб. – цена после первой скидки;
19 000/10 = 1900 руб. – составляют 10 %
19 000 – 1900 = 17 100 руб. – цена товара после двух понижений.
Задача 3. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
Напоследок нам хочется рассмотреть заинтересовавшие нас проценты, применяемые в экономике о которых настойчиво сообщают нам все средства массовой информации. Для этого они были придуманы много лет тому назад – это проценты в сфере бизнеса.
Уместнее всего рассмотреть практическую задачу, имеющую применение в реальной жизни, и наиболее удачной оказалась задача на расчет кредитов. С математической точки зрения она интересна тем, что не входит в школьную программу. Действительно, в наше время люди все чаще и чаще берут товары в кредит (ссуда в денежной или товарной форме, предоставляемая кредитором заемщику на условиях возвратности, чаще всего с выплатой процента за пользование ссудой), который доступен каждому.
Конечно же, всем хочется приобрести нужный товар, как можно выгодней. В нашем селе банков нет. Для проведения этого эксперимента мы решили рассмотреть различные формы кредитов и вкладов в двух банках нашего района: «Сбербанка» и «РоссельхозБанка». Для этого не обойтись без формулы сложных процентов.
Sn=S0 (1+0,01 р)n ( n – срок кредита).
Потребительские кредиты (без обеспечения)
Хотелось бы рассмотреть потребительские кредиты без обеспечения в РоссельхозБанке и Сбербанке. Такой кредит оптимален в случае, если Вам нужна незначительная сумма денежных средств, а также для Вас важно максимально простое оформление кредита. Важной особенностью такого кредита является то, что он осуществляется на любые цели без залога и поручительства.
Допустим, мы решили взять кредит на 450 000 рублей сроком на 5лет. По формуле сложных процентов Sn=S0 (1+0,01 р)n найдем сумму денежных средств, причитающихся к возврату по окончании срока кредита:
S 5 =450 000 (1+0,01*12) 5
С учетом комиссии общая сумма платежа = 600 600
2. Сбербанк
Кредит « Потребительский без обеспечения »
S 5 = 450 000 (1+0,01*11,9) 5
С учетом комиссии общая сумма платежа = 599 220
С помощью диаграммы наглядно покажем разницу окончательных
сумм выплат в каждом банке.
1400 рублей. Таким образом, выгоднее брать потребительский
кредит в Сбербанке.
В настоящее время каждому человеку в нашей стране предоставляется множество возможностей формировать свою пенсию, в том числе хранить свои пенсионные сбережения в банках, делать пенсионные вклады. Рассмотрим более выгодные условия хранения таких вкладов.
Минимальный размер первоначального взноса
от 3 до 60 месяцев
От 30000 до 3 000 000 рублей
Допустим, некий гражданин пенсионного возраста хочет сделать вклад в 60 000 рублей сроком на 2 года (730 дней). Банки предоставляют по несколько вкладов для пенсионеров. Но мы рассмотрели только вклад «Пенсионный-плюс». Поэтому для начала выясним, в каком из 2-ух банков вклад является наиболее выгодным.
По формуле сложных процентов Sn=S0 (1+0,01 р)n найдем сумму накопленных денежных средств за 2 года:
Вклад в РоссельхозБанке: S2= 60 000 (1+0,016,35)2 =67 861.93 (руб)
Так, доход по вкладу в РоссельхозБанке составит 7 861.93 рубля, а в Сбербанке – 4 273,5 рублей. Таким образом, вклад в РоссельхозБанке намного выгоднее вклада в Сбербанке.
Так, доход по вкладу в РоссельхозБанке составит 7 861.93 рубля, а в Сбербанке – 4 273,5 рублей. Таким образом, вклад в РоссельхозБанке намного выгоднее вклада в Сбербанке.
Вклад «Пенсионный плюс»
Результаты расчётов представили в виде диаграммы
Ипотека – это залог недвижимости под выдаваемый кредит, когда залог, служащий основанием этого кредита, не передается кредитору, а остается в собственности должника. На заложенное под ипотеку имущество налагается запрещение на продажу или переоформление его на другое лицо до полного погашения кредита и всех процентов.
Предположим: Продав свой дом за 2 000 000 рублей, молодая семья хочет купить жильё за 3 500 000 рублей. Но денежных средств на приобретение недвижимости не хватает. Тогда семейная пара решается взять ипотеку 1 500 000 рублей сроком на 10 лет.
Стартовым этапом практически любой ипотеки является первоначальный взнос.
Нужно иметь ввиду: чем больше первоначальный взнос, тем больше возможностей, во-первых, вообще получить одобрение по кредиту, во вторых получить лучшие условия от банка по годовой процентной ставке.
Для подавляющего большинства банков первоначальный взнос по ипотеке является самым главным и принципиальным критерием первичного отсева заемщиков.
Для начала определим, какому из ипотечных кредитов, соответствует какая процентная ставка, при это будем учитывать, что первоначальный взнос = 2 000 000 рублей.
Произвели расчёты. Получили.
Ипотека «Ипотечное жилищное кредитование»
Ипотека «Приобретение готового жилья»
Мы повторили пройдённый материал по процентам.
Познакомились с заинтересовавшими нас процентами в банковской сфере.
Узнали, что сейчас область применения процентов очень велика по сравнению со временем их рождения, когда их применяли только ростовщики.
Мы поняли, что проценты можно применять везде. И поэтому «Его величество ПРОЦЕНТ» существуют и уже никуда не денется.
Математика нужна!
Математика важна!
В гастрономе как-то дед
Закупался на обед.
Взял он фруктов, колбасы,
Положил всё на весы.
Продавец всё подсчитала,
Старика и обсчитала.
В школе дед учился плохо,
Не заметил он подвоха.
Математику бы знал,
Сохранил бы капитал!
Завод произвел за год 40000 автомобилей а в следующем году 36000
Задачи на движение
Равномерное движение по прямой
2) Если объект на разных участках пути движется с постоянными, но разными скоростями, то под средней скоростью движения понимают отношение длины суммарного пройденного пути к затраченному на прохождение всех участков пути времени (а не среднее арифметическое скоростей):
3) Если два объекта, первоначально находящиеся на расстоянии \(S\) друг от друга, движутся навстречу друг другу со скоростями \(V_1\) и \(V_2\) соответственно, то время через которое они встретятся, находится по формуле:
(в данном случае скорость их сближения равна \(V_1 + V_2\) )
4) Если два объекта движутся в одном направлении со скоростями \(V_1\) и \(V_2\) соответственно \((V_1>V_2)\) так, что первый нагоняет второго, то время, через которое произойдет их встреча, находится по формуле:
Равномерное движение по окружности
Пусть два объекта начинают движение по окружности радиуса \(R\) из одной точки окружности, двигаясь со скоростями \(V_1\) и \(V_2\) соответственно. Обозначим длину окружности:
1) Если объекты движутся в противоположенных направлениях, то для нахождения времени их новой встречи используется формула:
2) Если же объекты движутся в одном направлении, то движущийся более быстро 1-й объект первый раз обгонит 2-й объект через время:
т.е. он пройдет на один круг \(S\) больше. Второй раз он обгонит 2-й объект через время
Проценты
Процент – это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %.
Существует следующие основные типы задач на проценты:
Задача 1. Найти указанный процент от заданного числа.
Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.
Пример: Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?
Решение: 10000 · 6 : 100 = 600 руб.
Задача 2. Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
Заданное число делится на его процентное выражение и результат умножается на 100.
Пример: Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7.5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?
Решение: 1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб.
Задача 3. Найти процентное выражение одного числа от другого.
Первое число делится на второе и результат умножается на 100.
Пример: Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году – только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?
Решение: 36000 : 40000 · 100 = 90%
Задачи на концентрацию
Тогда (объемной) концентрацией 1-го газа называется безразмерная величина, равная отношению \(c_1 =
Аналогично вводятся концентрации каждой из двух оставшихся компонентов смеси: \(c_2 =
Концентрация может принимать значение от \(0\) (если данный компонент отсутствует в смеси) до \(1\) (если вся смесь фактически состоит из одного единственного компонента).
Сложные проценты
Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.
a – процент(ы) годовых
Но, мы можем и уменьшать цену (периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов), поэтому эту формулу можно записать и по-другому:
Экономические задачи
Для нахождения суммы \(R\) у.е., которую следует внести в настоящий момент в банк по ставке \(p\) \(\%\) годовых для того, чтобы через \(n\) лет получить \(S\) у.е., можно воспользоваться формулой:
Из этой формулы следует: