Движение автомобиля описывается уравнением s 6t 5t2 ускорение автомобиля равно м c2

Движение автомобиля описывается уравнением s 6t 5t2 ускорение автомобиля равно м c2

При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени t имеет вид:

641cacdf1298ca4265c5df8e2cd93549

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

При равноускоренном движении зависимость координаты тела 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6от времени в общем виде следующая:

18a98c6555a42385d671b2a5c7c6de97

Сравнивая с выражением, данным в условии, получаем, что проекция начальной скорости равна 72c91ac763a886388c4a4f5d78f9cf1cа ускорение 859bc82ced060566dff0e2f680d2ceebТаким образом, скорость тела в момент времени 7ca5bb03eb52a0bdbfcec1918223c372равна

867957231b68fbe26f63f9552d60df49

Скажите пожалуйста, как вы нашли а? (а=v/t)

Самый просто способ нахождения ускорения по известному закону изменения координаты со временем fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c— описан в решении. Нужно сравнить конкретный закон с общей формулой для равноускоренного движения. Коэффициент при d51c6fcacbb0e472719b1953b567969f— это половина ускорения.

Если Вы хорошо ориентируетесь в дифференциальном исчислении, то можно поступить следующим образом: ускорение — это вторая производная координаты по времени. Имеем

e1b568141b8fce210c5c4edcd9b465c6,

18e59cc3ac8fc8a316632f49fa119bca

что-то не могу понять никак

Давайте еще раз, более подробно.

Внимательно смотрим на данный нам в задаче закон изменения координаты со временем

dd266d07dafe18c4d8f61f43427bca88

Замечаем, что координата квадратично зависит от времени, вспоминаем, что это характерно для движения с постоянным ускорением. Выписываем общую формулу для координаты при таком движении.

6b50e52f86223696ddcad90ea6fbc47d

Здесь 3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b— начальное положение тела в момент времени 3e8f7b0adf6d7024b951f29a18225e4a; 8bcda5f030288c05bb245be5d42b3c07— начальная скорость; 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661— ускорение.

Сравнивая конкретную формулу из условия и общую формулу получаем, что 48a7093e5d42501f963634367d6fbad5, следовательно, ускорение равно 1c8eebad5fa3acea15565083d307d555.

Теперь применяем формулу для скорости при равноускоренном движении

3943b8d675f2d247eb3bfc71e0a740c3

Для момента времени 1709964cd4d9bd32dc0ca6cf1ae6d339имеем:

7785a6118a99ee81bd1139790e57382e

Он применим для абсолютной любой зависимости координаты тела от времени, даже для случаев, когда тело двигается с переменным ускорением, но для того, чтобы его использовать необходимо: 1) уметь вычислять производные функций; 2) понимать, что скорость тела в некоторый момент времени — это производная координаты по времени в этот момент времени.

Для данной конкретной задачи. Закон изменения координаты имеет вид

dd266d07dafe18c4d8f61f43427bca88

Продифференцируем эту функцию по времени и получим функцию, описывающую изменение скорости со временем (штрих обозначает производную по времени)

f08b82d865b9f09206f46737f18a5432

Поставим в эту формулу момент времени 1709964cd4d9bd32dc0ca6cf1ae6d339и получим искомую величину.

Пример более сложного случая. Пусть координата изменяется по закону

1fd00af170324c216afe6a0374bd79e3

Тут координата уже кубично зависит от времени, это не равноускоренное движение, ускорение меняется со временем, а значит, первый способ применить нельзя. Воспользуемся вторым

34fac204867e4346142c16492c38cf1f

Скорость меняется квадратично со временем. В момент времени 1709964cd4d9bd32dc0ca6cf1ae6d339она равна

Источник

Движение автомобиля описывается уравнением s 6t 5t2 ускорение автомобиля равно м c2

На рисунке приведён график зависимости модуля средней скорости Vр материальной точки от времени t при прямолинейном движении. Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения и укажите их номера.

3) За первые 3 с движения материальная точка проходит путь 8 м.

4) За первые 2 с движения материальная точка проходит путь 12 м.

5) Модуль начальной скорости материальной точки равен 2 м/с.

При равноускоренном движении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скорости. Найдем, чему равна скорость тела в момент времени t = 1 c:

4992c84ab95b829957872de3f22edff5

Таким образом, ускорение тела равно

955f1033a986aa8c3d5a83082f792ea5

Путь — это произведение средней скорости на затраченное время

e3cee54deafcb4c2bfff76949d7b65d9

Обратите внимание, что на графике приведена зависимость средней скорости от времени, а не просто скорости. Наклон этого графика не равен ускорению.

Грузик массой m = 100 г неподвижно висит на лёгкой абсолютно упругой гибкой резинке с коэффициентом упругости k = 100 Н/м в поле силы тяжести с ускорением свободного падения g. Грузик поднимают из этого положения вертикально вверх на высоту h = 80 см, меньшую длины резинки, и отпускают без начальной скорости. Найдите время движения грузика вниз до точки его остановки. Начальной деформацией резинки при покоящемся грузике можно пренебречь.

Какие законы Вы используете для описания движения груза на резинке? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Обоснование. Грузик движется поступательно, поэтому его можно принять за материальную точку. На первом этапе движения грузика на него действует только сила тяжести, т.к. сопротивлением воздуха мы пренебрегаем. Следовательно, на этом этапе грузик движется с ускорением свободного падения. И для описания движения тела можно применять законы прямолинейного равноускоренного движения.

На втором этапе движения резинка упруго деформируется, в результате чего на грузик начинает действовать изменяющаяся по модулю и направлению сила упругости, для которой справедлив закон Гука. Таким образом, второй этап движения представляет собой механические колебания груза на резинке. Т.к. сила тяжести не меняется по модулю и направлению, то она не влияет на характер колебаний грузика. В инерциальной системе отсчета возможно применение законов колебательного движения.

Перейдем к решению.

1. Введём неподвижную декартову систему координат с вертикальной осью ОХ, направленной вниз, причём начало координат поместим на уровне начального положения грузика.

2. После подъёма и отпускания грузика его движение вниз в поле силы тяжести разбивается на две стадии: вначале он свободно падает с ускорением g с высоты h до точки x = 0 (поскольку начальной деформацией резинки можно пренебречь) за время

ffcce0efc384d0c8f6d9b9bb98268ec2

что следует из формул кинематики равноускоренного движения.

3. Затем резинка начинает растягиваться, а грузик — тормозиться вплоть до остановки в нижней точке его движения. Поскольку начальное растяжение резинки компенсирует вес грузика, то на второй стадии можно считать, что действует только упругая сила, и уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось ОХ имеет вид:

56b376ba55f8f2822a688a8c07a3c40d

что является уравнением гармонических колебаний с периодом

3c0f1bc52b2d593a59ff8d67d68bec26

4. С учётом начальных условий закон движения грузика на втором этапе представляет собой 1/4 часть периода синусоиды и происходит за время

24d3d67f63f442010f358bb0e01572c5

5. Таким образом, искомое время движения грузика вниз до точки остановки равно

1a84d8b424540089b1c7b043b487b3d1

6. Подставляя численные данные из условия, получаем:

5897f2da430f5578f12cefb5e98563f1

Ответ: 0fced6974c09cb2de0959852f31e0afe

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №19. Решение задач с помощью производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fadc89bbc eb7c 4f5b b130 4f1a7725adc1или a62d7c42 f80c 43ac 8bfc ef8413fa3197

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть 0dbdbd1a b349 410a b13a d54213a85ff8

Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним механический смысл производной:

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону 6877918d e145 416f bdd2 6d04e1bad516(S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть 8e72d2e4 2354 4d07 8236 ecbee930cf13.

Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).

Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол

debe79e0 121d 4b49 bf39 d7b2d6b901d6Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ’. Тогда ω=(4t-0,2t 2 )=4-0,4t.

Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с).

Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.

Пример 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S=3t 2 +2t-5. Найти кинетическую энергию тела 3912173e 61a8 4f6e a18c ed4473504ff4через 3 с после начала движения.

Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3.

f7e7013c 16cc 4200 afc8 7170ed9b339413ae87f9 865b 4198 a135 2ead429ee125

Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается f35b0c7c c7b7 4157 9a43 9380167c9174.

Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:

f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x

f 145babbd c15d 4131 b631 8f683755ca18(x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x

f (4) (x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x

f b0fd09f3 85b0 49e0 a0c6 4ee68c03ae99(x)= 9∙ 2 3x ∙ln 2 2

f (4) (x)= 81∙ 2 3x ∙ln 4 2

Механический смысл второй производной.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть dce9de6c 13e7 4262 a05b d0306b45f3c4

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

найдём скорость точки в любой момент времени t.

Вычислим скорость в момент времени t=4 c.

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с 2 ).

Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с 2 ).

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Напишите производную третьего порядка для функции:

Решим данную задачу:

№ 2. Тип задания: выделение цветом

Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 +2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.

Решим данную задачу:

Воспользуемся механическим смыслом второй производной:

Вычислим скорость в момент времени t=6 c.

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

Ответ: v=38(м/с); a= v’= 6 (м/с 2 ).

Источник

Движение автомобиля описывается уравнением s 6t 5t2 ускорение автомобиля равно м c2

Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость скорости автомобиля от времени. Чему равен максимальный модуль ускорения? Ответ выразите в метрах на секунду в квадрате.

На всех рассматриваемых интервалах времени скорость автомобиля меняется равномерно, следовательно, ускорение на каждом интервале постоянно. Рассчитаем ускорения:

в интервале от 0 до 10 с: 7de33222c7fc2df33113b954de785f2a

в интервале от 10 до 20 с: fb11d2de66cb57686404b8646e86dc6a

в интервале от 20 до 30 с: e51f8ebee5d8f2c554c8e400725dec8c

в интервале от 30 до 40 с: 915c447e707ff9d8257c1c033e2fd86d

Первый способ решения(для трудолюбивых)

1. Определяем цену деления по осям.

2. Нахожу ускорения на каждом участке:

III-участок: (10-20)/10 =-1

IV-участок: (15-10)/10 =1,5

Второй способ (для продвинутых)

a=tg(альфа), угол >, то и а>

Здравствуйте! Я не очень понимаю, а как определить величину наклона.

Величиной наклона здесь называется параметр, который показывает, насколько быстро увеличивается (или уменьшается) функция. Его можно измерять, например, тангенсом угла наклона графика, тогда это будет в точности ускорение. Но так как здесь не спрашивается величина ускорения, можно просто посмотреть на график и найти на нем участок, где функция изменяется «круче» всего. Это и даст участок с максимальным по модулю ускорением.

Тело разгоняется на прямолинейном участке пути, при этом зависимость пройденного телом пути S от времени t имеет вид:

b96e2529105e1d196d0c0310ac9e0877

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

При равноускоренном движении зависимость пройденного телом пути от времени в общем виде имеет вид

15bb70e0691118089230fbd80821ab52

Сравнивая с выражением, данным в условии, заключаем, что оно укладывается в это общее правило, а значит тело двигалось равноускоренно. Сопоставляя конкретные члены в выражениях получаем, что начальная скорость равна 83d129b452f7878dd955213744f87976а ускорение 04d277e12d40ff2cbc72b9f36b291b3fТаким образом, скорость тела в момент времени 0f1097dce0697dddf42a303f606a8b3fравна fd0c5d9de6c6663ef85851334fb2674c:

b414ecec529b73e1651b25962a5b44aa

vt=t(v0 +(at)/2) делим обе части на t

У Вас ошибка в первой формуле

1bf3f43f62034c14fd2ad851c9a208f0— это формула для равномерного движения, можно ее с натяжкой использовать и для равноускоренного движения, но тогда под v надо понимать среднее арифметическое начальной и конечной скоростей (или значение скорости в середине исследуемого промежутка времени). В нашем случае, Вы таким образом получаете скорость в момент времени 1 с.

Лучше всего, запомните закон изменения скорости при равноускоренном движении

3943b8d675f2d247eb3bfc71e0a740c3

А правильно ли будет решить математическим способом:найти производную,а потом подставить вместо t=2?

Дифференциальный анализ придумали физики, чтобы решать приблизительно вот такие вот задачи. Так что спокойно можете использовать свои знания и умения, если Вы уверены в них. Главное — это получить правильный результат, способ его получения не столь важен.

Спасибо за формулу!

Не за что, обращайтесь 🙂

в задаче говорится про прямолинейное движение, а вы описываете равноускоренное. это правильно? объясните пж)

Слово «прямолинейное» означает лишь, что траектория — прямая линия. Двигаться вдоль этой прямой тело может абсолютно произвольно. В данном случае движение равноускоренное.

Спасибо,рассматривая следующую задачу поняла методику их решения

Здравствуйте, а можно ли эту задачу решить, применяя производную?

Здравствуйте, скажите, как нашли a=2 м/с^2?

7353eebe742cf3f3babc22b60386cc29— общий вид,

433abd331db0a41d3e06916e7835bbf4— по условию,

значит, 1e4ca123a7605147714259d875595bfb622a095dc9edee90d21fc439afb1ab02

При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени t имеет вид:

641cacdf1298ca4265c5df8e2cd93549

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

При равноускоренном движении зависимость координаты тела 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6от времени в общем виде следующая:

18a98c6555a42385d671b2a5c7c6de97

Сравнивая с выражением, данным в условии, получаем, что проекция начальной скорости равна 72c91ac763a886388c4a4f5d78f9cf1cа ускорение 859bc82ced060566dff0e2f680d2ceebТаким образом, скорость тела в момент времени 7ca5bb03eb52a0bdbfcec1918223c372равна

867957231b68fbe26f63f9552d60df49

Скажите пожалуйста, как вы нашли а? (а=v/t)

Самый просто способ нахождения ускорения по известному закону изменения координаты со временем fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c— описан в решении. Нужно сравнить конкретный закон с общей формулой для равноускоренного движения. Коэффициент при d51c6fcacbb0e472719b1953b567969f— это половина ускорения.

Если Вы хорошо ориентируетесь в дифференциальном исчислении, то можно поступить следующим образом: ускорение — это вторая производная координаты по времени. Имеем

e1b568141b8fce210c5c4edcd9b465c6,

18e59cc3ac8fc8a316632f49fa119bca

что-то не могу понять никак

Давайте еще раз, более подробно.

Внимательно смотрим на данный нам в задаче закон изменения координаты со временем

dd266d07dafe18c4d8f61f43427bca88

Замечаем, что координата квадратично зависит от времени, вспоминаем, что это характерно для движения с постоянным ускорением. Выписываем общую формулу для координаты при таком движении.

6b50e52f86223696ddcad90ea6fbc47d

Здесь 3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111b— начальное положение тела в момент времени 3e8f7b0adf6d7024b951f29a18225e4a; 8bcda5f030288c05bb245be5d42b3c07— начальная скорость; 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661— ускорение.

Сравнивая конкретную формулу из условия и общую формулу получаем, что 48a7093e5d42501f963634367d6fbad5, следовательно, ускорение равно 1c8eebad5fa3acea15565083d307d555.

Теперь применяем формулу для скорости при равноускоренном движении

3943b8d675f2d247eb3bfc71e0a740c3

Для момента времени 1709964cd4d9bd32dc0ca6cf1ae6d339имеем:

7785a6118a99ee81bd1139790e57382e

Он применим для абсолютной любой зависимости координаты тела от времени, даже для случаев, когда тело двигается с переменным ускорением, но для того, чтобы его использовать необходимо: 1) уметь вычислять производные функций; 2) понимать, что скорость тела в некоторый момент времени — это производная координаты по времени в этот момент времени.

Для данной конкретной задачи. Закон изменения координаты имеет вид

dd266d07dafe18c4d8f61f43427bca88

Продифференцируем эту функцию по времени и получим функцию, описывающую изменение скорости со временем (штрих обозначает производную по времени)

f08b82d865b9f09206f46737f18a5432

Поставим в эту формулу момент времени 1709964cd4d9bd32dc0ca6cf1ae6d339и получим искомую величину.

Пример более сложного случая. Пусть координата изменяется по закону

1fd00af170324c216afe6a0374bd79e3

Тут координата уже кубично зависит от времени, это не равноускоренное движение, ускорение меняется со временем, а значит, первый способ применить нельзя. Воспользуемся вторым

34fac204867e4346142c16492c38cf1f

Скорость меняется квадратично со временем. В момент времени 1709964cd4d9bd32dc0ca6cf1ae6d339она равна

Источник

Оцените статью
AvtoRazbor.top - все самое важное о вашем авто